かなりふつう

新しい理論を実装する場合、何から手を付けていいのか分からないと思います。
そんなとき、まず自分がやりたいことを思い出してみましょう。
今回やりたいことは、

● 最初と最後がゆっくりなカメラワーク

ですが、それは具体的にどのように動くでしょうか？
カメラワークを実行するには何が必要で、実行した結果どうなるんでしたでしょうか。
まず、必要なのは

・始点位置
・終点位置
・総フレーム数
・ｎフレーム目での進行度合いを計算してくれる式（ｎは任意のフレーム位置）

でした。始点（０フレーム目）から始まり、ｎフレーム目での進行度が定まり、
（終点－始点）× 進行度 でｎフレーム目の現在位置が求まります。これを繰り返す
ことで連続的なカメラワークが実現できるわけです。

よって、実行した結果は

・ｎフレーム目に、或る位置にカメラが移動する

となります。言葉にしてしまうとシンプルな話ですね。
要するに、「動作」には「入力」と「出力」が存在するわけです。
何かを入力したら、入力したものを加工して何かが出力される。つまり、あらゆる処理の
シーケンス（順序）は

１，初期値を与える
２，初期値による出力の計算
３，結果の出力
４，次の値へカウントアップ、もしくは次の値を計算
５，次の値による出力の計算
６，結果の出力
７，４に戻る。ただし、もし提示しておいた条件を満たしたら終了

となるのです。どんなものでも、これに当てはめれば動作します。動作し得ないのなら、
この１～７の何かが抜けているのです。

では、実際に当てはめてみましょうか。

１，初期値を与える　←　初期カメラ位置（ユーザーが指定する）。これがｎ＝０
２，初期値による出力の計算　←　Ｙを求める計算式に０を入れる
３，結果の出力　←　カメラ位置を移動させるコードの実行
４，次の値へカウントアップ　←　フレームカウントをｎ＋１にする
５，次の値による出力の計算　←　Ｙを求める計算式にｎを入れる
６，結果の出力　←　カメラ位置を移動させるコードの実行
７，条件を満たしたら終了　←　ｎが総フレーム数と等しくなったら

はい。今までに提示した内容で全部埋まりましたね。
次に、一番重要な中核部分、「Ｙを求める」です。これを確認してみましょう。



式はコレだと言いましたが、数学やプログラムの関数に触れていない人にはそれでも
ピンと来ないかもしれませんので、実際のカメラ位置も含めて手順をなぞってみましょう。
この「手順を手動でなぞる」というのは極めて大切です。まずはこれを何ループか
繰り返して、全体を把握してから「一般化」を行うのが正しい道筋です。

　例えば、Ｙ＝Ｘ＋２がどういう軌跡を成すか分かりますか？
　ある程度数学を身に付けた人ならすぐに分かりますが、そうでないと直感的には難しい
でしょう。そういうときは、１つずつ値を入力していくはずです。

Ｘ＝０　のとき　Ｙ＝０＋２＝２
Ｘ＝１　のとき　Ｙ＝１＋２＝３
Ｘ＝２　のとき　Ｙ＝２＋２＝４

こんな感じです。これで、ＸがＹ軸と同じ位置にあるとき、Ｙ＝２に点があることが分かり、
Ｘが１増えるごとにＹも１増えていくことが分かります。つまり、Ｙ＝２を通る、傾きが
１（Ｘの増分１／Ｙの増分１）の直線だと言えます。これが一般化です。

まあ、実のところ、上で書いた複雑な式がどういう軌跡を描くかはもう分かってますよね。



はい、こちらですね。Ｘ軸が－６～＋６になっていますが、将来的には０～１になるように
調整したいです。どうするかって？Ｘ＝１を入れたら、実際にはＸ＝６を入れたのと
同じになればいいんですよね。さらに、Ｘ＝０ならＸ＝ー６を入れたのと同じになればいい。
また、Ｘ＝０．５を入れたらＸ＝０入れたみたいになればいい。
これはつまり、Ｘ＝０の時はＹ＝ー６，Ｘ＝１の時はＹ＝６っていう直線を示してるのと
同じですよね。つまり、Ｙ＝１２Ｘー６じゃあありませんか。

さて、この（便宜上の）ＹっていうのはグラフのＸ軸の値を示してますので、式のａｘが
Ｙだと思えばＯＫです。ここで、ａはただのゲイン（任意の係数）なので１としてしまうと、
実際は－ｘですから、まとめるとｅの指数は

　６－１２Ｚ（Ｚは０～１）

となります。つまり、Ｚを０にすると－ｘが６になったことになります。－ｘが６という
ことは、Ｘ＝－６を入れたのと同義です。Ｚを１にすると－ｘがー６になったことに
なります。Ｘ＝６を入れたのと同義です。つまり、Ｚに０～１を入れるだけで、上の
グラフのＸ＝－６～＋６を行っているのと同じ効果が得られるということです。
なので、これからｅの指数は「６－１２Ｚ」と置き換えます。

一旦計算してみましょう。上の式のＺに、まずは０．５を入れてみます。

σa(x)＝１／（１＋ｅ^0）

ここで、eの0乗は、累乗はどんな数字でも0乗は1ですから、

σa(x)＝１／（１＋１）＝０．５

となりました。なるほど、グラフ上でもＹ＝０．５ですね。合ってます。
じゃあ、グラフ上の「Ｘ＝２」の値になるようなＺを入れてみます。Ｚは端から端までが
０～１ですから、Ｘ＝２に対応するならＺ＝４／６＝0.667ですね。つまりｅの指数は
６－１２×0.667≒－２です。

σa(x)＝１／（１＋ｅ^-2）＝１／（１＋0.135）＝１／1.135＝0.881

うん、グラフを見ても、0.9にほど近い値ですから、この値も合ってる感じです。
じゃあ、Ｚ＝２／６＝0.333を入れてみましょう。

σa(x)＝１／（１＋ｅ^+2）＝１／（１＋7.389）＝１／8.389＝0.1192

はい、対象形ですから、これも正しいですね。
それじゃもう一つ、Ｚ＝１を入れてみます。ｅの指数はー６ですね。
これは元々Ｘ＝６を入れているのと同じ。つまり－ａｘがー６になってるのと同じでした。

σa(x)＝１／（１＋ｅ^-6）＝１／（１＋0.002）＝１／1.002≒１

成りました。正確な１ではありませんから、正確に１になるのを待っていたらいつまでも
１にならないので、プログラム的にはどこかで値を丸めるなりしてあげる必要があります。
つまり、1/1.002=0.998なので、Yが0.997を超えたらもう終了しちゃおう！という
終了条件にするのです。この辺は、プログラムを知らない人なら「こまっけえなあ」って
思うでしょうが、プログラムは「一切の融通が利かない」ので、やらないとダメです。


　ということで、とうとう０～１という入力を与えると、０～１の範囲でＹが滑らかに
変化する式が得られました。それがこちら。

Ｙ＝１／（１＋ｅ＾（６－１２Ｚ））

です。

これで、次の節で具体的なカメラ座標の計算ができそうですね。
いよいよ実際のＧＴＡの値との調整になります。こうご期待ヾ( ﾟдﾟ)ﾉﾞ




.